特征向量是线性代数中一个非常重要的概念，尤其在矩阵理论、统计学以及机器学习等领域有着广泛的应用。特征向量与特征值一起描述了线性变换的主要性质，它们可以帮助我们理解矩阵如何改变空间中的方向和大小。

特征向量的基本定义

给定一个n×n的方阵A，如果存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，则称v为A的一个特征向量，λ为对应的特征值。这个等式可以重写为(A - λI)v = 0，其中I是单位矩阵。为了使这个方程有非零解，行列式|A - λI|必须等于0。这个行列式被称为特征多项式，其根就是特征值。

求解特征向量的步骤

1. 计算特征值：首先，通过求解特征多项式|A - λI| = 0来找到所有可能的特征值λ。

2. 确定特征向量：对于每一个特征值λ，将λ代入(A - λI)v = 0，得到一个关于v的线性方程组。解这个方程组可以得到对应于λ的特征向量v。注意，由于这个方程组通常有无穷多个解（因为v可以乘以任何非零常数），所以特征向量不是唯一的。

3. 标准化特征向量（可选）：有时候，我们会对特征向量进行归一化处理，使其长度为1。这可以通过除以向量的模长来实现。

示例

假设有一个2×2的矩阵A：

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]

1. 计算特征值：解特征多项式|A - λI| = 0，即

\[ \begin{vmatrix} 2-λ & 1 \\ 1 & 2-λ \end{vmatrix} = (2-λ)^2 - 1 = 0 \]

解得λ=1或λ=3。

2. 确定特征向量：

- 对于λ=1，解(A-I)v=0得到特征向量v1=[-1, 1]。

- 对于λ=3，解(A-3I)v=0得到特征向量v2=[1, 1]。

3. 标准化特征向量（如果需要的话）。

通过上述步骤，我们可以找到给定矩阵的所有特征向量和特征值，这对于理解和分析矩阵的性质至关重要。